Rappels sur les fonctions dérivées

1. Notations

Il existe différentes notations pour exprimer la dérivée d'une fonction. On distingue :

$f'\left(x\right)$

Ajouter une légende

§ La notation de Lagrange :

§ La notation de Leibniz : $\frac{{\mathrm d} f}{{\mathrm d} x}$ qui équivaut, plus rigoureusement, à $\frac{{\mathrm d} \left(f(x)\right)}{{\mathrm d} x}$

§ La notation d'Isaac Newton : $\dot{x} = \frac{{\mathrm d} x}{{\mathrm d} t} = x'(t)$ qui est plutôt utilisée en physique.

§ Enfin, la notation d'Euler : $D_x f(x) \;$

2. Formules sur les dérivées

2.1. Dérivée des fonctions usuelles

$f'\,$ peut souvent se calculer directement à partir d'une expression de $f\,$ , lorsqu'il s'agit d'une fonction « simple », en utilisant la tables des dérivées usuelles.

Fonctions	Dérivées	Conditions
$f(x) =\,$	$f'(x) =\,$	$x\,\in\mathbb{R}$
$a\,\!$	$0\,\!$	$x\,\in\mathbb{R}$
$a x\,\!$	$a\,\!$	$x\,\in\mathbb{R}$
$1 \over x\,\!$	$- {1 \over x^2}\,\!$	$x\,\in\mathbb{R}^*$
$\sqrt{x}\,\!$	${1 \over 2\sqrt{x}}\,\!$	$x\,\in\mathbb{R}_+^*$
$a x^n\,\!$	$anx^{n-1}\,\!$	$n\,\in \mathbb N^*\quad x\,\in\mathbb{R}$

2.2. Règles de dérivation

Pour des fonctions qui s'expriment comme combinaison linéaire de fonctions simples, comme produit, quotient ou composée, on utilise un petit nombre de règles algébriques déduites de la définition donnée plus haut. Les règles les plus couramment utilisées sont les suivantes :

Nom	Règle	Conditions
Linéarité	$(af+bg)^\prime = af' + bg'$	Quelles que soient les fonctions dérivables $f\,$ et $g\,$ et les réels a et b.
Produit	$(fg)^\prime = f'g+fg'$	Quelles que soient les fonctions dérivables $f\,$ et $g\,$
Inverse	$\left({1\over f}\right)' = {-f'\over f^2}$	Quelle que soit la fonction dérivable $f\,$ qui ne s'annule pas.
Quotient	$\left({f \over g}\right)' = {f'g-fg' \over g^2}$	Quelles que soient la fonction dérivable $f\,$ et la fonction dérivable $g\,$ qui ne s'annule pas
Composée	$(f \circ g)' = (f'\circ g) \cdot g' ou (f(g(x)))' = f'(g(x)).g'(x)$	Quelles que soient les fonctions dérivables (et composables) $f\,$ et $g\,$
Réciproque	$(f^{-1})' = \frac{1}{f' \circ f^{-1}}$	Quelle que soit la fonction $f\,$ bijective de réciproque $f^{-1}\,$ , dérivable de dérivée ne s'annulant en aucun point

En particulier, voici les règles courantes se déduisant de la dérivée de composées :

Nom	Règle	Conditions
Puissance	$(f^\alpha)^\prime = \alpha f^{\alpha-1}f'$	Quel que soit $\alpha \in \mathbb Z$ , et même quel que soit $\alpha \in \mathbb R$ si f est positive
Racine	$\left(\sqrt f\right)' = {f' \over 2\sqrt f}$	Quelle que soit la fonction dérivable $f\,$ strictement positive

3. Applications

Calculer les dérivées premières des fonctions suivantes :

f(x)=2x	f(x)= 4x²
f(x)= (x³+3)	f(x)= (2x³+3x²+5)
f(x)= (2x²-3x+19)	f(x)= (-1/x)⁴
f(x)=7x⁵-4x³+(3/x²)+8	f(x)= (x²+2)(x+1)
f(x)= (x²+3)/(x+1)	f(x)=-2x + V3x -3Vx
f(x)=Vx²+1	f(x)= (x³+3)²